Função Quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição da função quadrática:

A função quadrática (também chamada de função polinomial do 2º grau) é uma função f: ℝ→ℝ, definida por:

f(x) = ax² + bx + c

Em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Gráfico da Função Quadrática

Ao traçarmos o gráfico da função quadrática, obtemos uma curva, que chamamos de parábola.

Sua concavidade irá depender do coeficiente a de f.

Quando a > 0, a concavidade da função está voltada para cima. E quando o coeficiente a < 0, a parábola terá sua concavidade para baixo.

a > 0, concavidade para cima:

a < 0, Concavidade para baixo:

Vértice

Para encontrar o gráfico da função quadrática, diferentemente da função afim, é preciso encontrar mais que dois pontos. Sendo um dos mais importantes para fazer o gráfico da função, o vértice da parábola.

O vértice representa o valor máximo ou mínimo da função. Máximo para quando a parábola está voltada para cima, ou mínimo para quando a parábola está voltada para baixo.

E também é no vértice em que passa o chamado eixo de simetria, que é aquele que divide a parábola em duas partes iguais.

Para encontrar o vértice, usamos a seguinte fórmula:

Ao encontrarmos os valores de X vértice e Y vértice, podemos então determinar a coordenada
do vértice da parábola. Vértice = (Xv,Yv).

Raízes

Raiz é o ponto em que o gráfico corta o eixo X. E As funções quadráticas possuem no máximo duas raízes.

As raízes também são conhecidas por zero da função, e para encontrá-las é preciso realizar equações de segundo grau. E para isso, há diversas formas de calcular, mas geralmente uso o método por fórmula de Bhaskara.

Fórmula de Bhaskara

Fórmula de Delta

Por as raízes de uma função quadrática ser os valores de x que fazem com que f(x) = 0, para encontrar as raízes da equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

A partir do valor de Delta, podemos constatar algumas coisas:

Δ > 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
Δ = 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x; Δ < 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x.

Interseção com o eixo Y

O gráfico da função quadrática sempre irá intersectar o eixo das ordenadas no valor do coeficiente c, ou seja, a parábola corta o eixo Y no ponto (0, c).

Esboço do Gráfico

Para esboçar o gráfico da função quadrática, precisamos dos seguintes pontos:

O vértice da parábola;
O ponto de interseção com o eixo Y;
As raízes da Função, caso houver.

Por fim, deixo o seguinte mapa mental sobre função quadrática:

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